Gmailは「仕事用」「個人用」などに分け、複数のアカウントを登録しているかたはわりと多いと思います。
それらのメールの通知/非通知をアカウントごとに設定する方法です。
Gmailの管理画面をパソコンで開き、右上にある「設定」のアイコン(歯車のアイコン)をクリックします。
いちばん上にある「すべての設定を表示」をクリックします。
下にスクロールし、「デスクトップ通知」の3つの項目から、通知の方法を選択します。
(「メールの通知音」もここで選択できます。)
そのまま最下部までスクロールし、「変更を保存」をクリックして設定完了です。
右上からアカウントを切り替え、上記と同じ方法で通知/非通知をそれぞれ設定していきます。
ここで設定した「通知」or「非通知」の設定は、スマートフォンなどの端末にも反映されます。